e-Μαθηματικές Αναζητήσεις: Γ΄Λυκείου: Πανελλαδικές: Όρια-Συνέχεια - Σ-Λ 2000-2019

Γ΄Λυκείου: Πανελλαδικές: Όρια-Συνέχεια - Σ-Λ 2000-2019

'Ορια-Συνέχεια
Ερωτήσεις Σωστού - Λάθους των πανελλαδικών εξετάσεων 2000-2019

Ισχύει $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=L$ αν και μόνο αν $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{}-}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{}+}f(x)=L$
1. Σωστό
2. Λάθος
Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ΄ένα σύνολο της μορφής $(a,x_{0})\cup (x_{0},b)$ και L ένας πραγματικός αριθμός. Τότε ισχύει η ισοδυναμία $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=L\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}(f(x)-L)=0$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο $x_{0}$ και $\lim_{x\rightarrow x_{0}}|f(x)|=0$ τότε $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=0$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ >0 τότε f(x)>0 κοντά στο $x_{0}$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ <0 τότε f(x)<0 κοντά στο $x_{0}$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο $x_{0}$ και ισχύει $f(x)\leq g(x)$ κοντά στο $x_{0}$ τότε $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\leq \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν υπάρχει το $\lim_{x\rightarrow x_{0}}(f(x))+g(x))$ , τότε κατ΄ ανάγκη υπάρχουν τα $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ και $\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)$
1. Σωστό
2. Λάθος
Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων $f:R\rightarrow R$ και $g:R\rightarrow R$ , αν $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=0$ και $\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=+\infty$ τότε $\lim_{x\rightarrow x_{0}}[f(x))g(x)]=0$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο $x_{0}$ τότε $\lim_{x\rightarrow x_{0}}\sqrt[k]{f(x)}=\sqrt[k]{\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)}$ εφόσον $f(x)\geq 0$ κοντά στο $x_{0}$ με $k\in N$ και $k\geq 2$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=0$ και f(x)>0 κοντά στο $x_{0}$ , τότε $\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{1}{f(x)}=+\infty$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=+\infty \eta -\infty$ , τότε $\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{1}{f(x)}=0$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= -\infty$ τότε $\lim_{x\rightarrow x_{0}}(-f(x))=+\infty$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν είναι $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= +\infty$ , τότε f(x)<0 κοντά στο $x_{0}$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= -\infty$ τότε f(x)>0 κοντά στο $x_{0}$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν είναι $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= -\infty$ τότε $\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left | f(x) \right |=+\infty$
1. Σωστό
2. Λάθος
Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ΄ ένα σύνολο της μορφής $(\alpha ,x_{0})\cup (x_{0,\beta })$ . Ισχύει η ισοδυναμία $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)= -\infty \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=-\infty$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν α>1 τότε $\lim_{x\rightarrow -\infty }\alpha ^{^{x}}=0$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν 0<α<1 τότε $\lim_{x\rightarrow -\infty }\alpha ^{^{x}}=+\infty$
1. Σωστό
2. Λάθος
Ισχύει $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x}=1$
1. Σωστό
2. Λάθος
Ισχύει ότι $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sin x}{x}=1$
1. Σωστό
2. Λάθος
Ισχύει ότι $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=0$
1. Σωστό
2. Λάθος
Ισχύει ότι |ημx| $\leq$ |x| για κάθε $x\in R$
1. Σωστό
2. Λάθος
Ισχύει ότι $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{x}=0$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο $x_{0}$ και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο $x_{0}$ τότε και η σύνθεση τους $g\bigcirc f$ είναι συνεχής στο $x_{0}$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο [α, β] και συνεχής στο (α, β], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [α, β] μια μέγιστη τιμή
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν μηδενίζεται σε αυτό τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε $x\in \Delta$ ή είναι αρνητική για κάθε $x\in \Delta$ δηλαδή διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ
1. Σωστό
2. Λάθος
Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα.
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν η f είναι συνεχής στο [a, b] με f(a )<0 και υπάρχει $k \in (a ,b)$ ώστε f(k)=0 τότε κατ΄ ανάγκη f(b)>0
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [a, b] και υπάρχει $x_{0}\in (a,b)$ τέτοιο ώστε $f(x_{0})=0$ τότε κατ΄ ανάγκη θα ισχύει f(a)f(b)<0
1. Σωστό
2. Λάθος
Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β) τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α, Β) όπου $A=\lim_{x\rightarrow \alpha ^{+}}f(x)$ και $B\lim_{x\rightarrow \beta ^{-}}f(x)$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], τότε η f παίρνει στο [α, β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m
1. Σωστό
2. Λάθος
Μια πολυωνυμική συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της .
1. Σωστό
2. Λάθος