e-Μαθηματικές Αναζητήσεις: Γ΄Λυκείου: Πανελλαδικές: Παράγωγος

Παράγωγος
Ερωτήσεις Σωστού - Λάθους των πανελλαδικών εξετάσεων 2000-2019

Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο $x_{0}$ , τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο $x_{0}$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο $x_{0}$ , τότε η $f{}'$ είναι πάντοτε συνεχής στο $x_{0}$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν η συνάρτηση f έχει δεύτερη παράγωγο στο $x_{0}$ , τότε η $f{}'$ είναι συνεχής στο $x_{0}$
1. Σωστό
2. Λάθος
Ισχύει (συνx)’=ημx, $x\in R$
1. Σωστό
2. Λάθος
Ισχύει ο τύπος $\left ( 3^{x} \right ){}'=x3^{^{x-1}}$ για κάθε $x\in R$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν $f(x)=\ln|x|$ για κάθε $x\neq 0$ τότε $f{}'(x)=\frac{1}{|x|}$ για κάθε $x\neq 0$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν $f(x)=a^{x}$ ,α>0 τότε ισχύει $\left ( a^{x} \right ){}'=xa^{^{x-1}}$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο $x_{0}$ τότε η συνάρτηση $f\cdot g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_{0}$ και ισχύει $\left ( f\cdot g \right ){}'(x_{0})=f{}'(x_{0})g{}'(x_{0})$
1. Σωστό
2. Λάθος
Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις f, g παραγωγίσιμες στο $x_{0}$ ισχύει: $\left ( f\cdot g \right ){}'(x_{0})=f{}'(x_{0})\cdot g(x_{0})-f(x_{0})g{}'(x_{0})$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο $x_{0}$ και $g(x_{0})\neq 0$ τότε και η συνάρτηση $\frac{f}{g}$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_{0}$ και ισχύει: $(\frac{f}{g}){}'(x_{0})=\frac{f{}'(x_{0})g(x_{0})-f(x_{0})g{}'(x_{0})}{g^{2}(x_{0})}$
1. Σωστό
2. Λάθος
Για κάθε συνεχή συνάρτηση $f:[\alpha ,\beta ]\rightarrow R$ , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) αν f(α)=f(β) τότε υπάρχει ακριβώς ένα $k\in (\alpha ,\beta )$ τέτοιο ώστε $f{}'(k)=0$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [α, β] στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle
1. Σωστό
2. Λάθος
Κάθε συνάρτηση f για την οποία ισχύει $f{}'(x)=0$ για κάθε $x\in (\alpha ,x_{0})\cup (x_{0},\beta )$ είναι σταθερή στο $(\alpha ,x_{0})\cup (x_{0},\beta )$
1. Σωστό
2. Λάθος
Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και $f{}'(x)=g{}'(x)$ για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ τότε ισχύει f(x)=g(x) για κάθε $x\in \Delta$
1. Σωστό
2. Λάθος
Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ , τότε η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του Δ
1. Σωστό
2. Λάθος
Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.Αν f′(x)>0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ
1. Σωστό
2. Λάθος
Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό x του Δ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ , τότε f′(x)>0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ
1. Σωστό
2. Λάθος
Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ , τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του Δ
1. Σωστό
2. Λάθος
Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και $x_{0}$ ένα εσωτερικό σημείο του Δ . Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο $x_{0}$ και $f{}'(x_{0})=0$ τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο $x_{0}$
1. Σωστό
2. Λάθος
Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] και σημείο $x_{0}\in [\alpha ,\beta ]$ στο οποίο η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Τότε πάντα ισχύει ότι $f{}'(x_{0})=0$
1. Σωστό
2. Λάθος
Για κάθε συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ που είναι παραγωγίσιμη και δεν παρουσιάζει ακρότατα ισχύει f′(x)‡0 για κάθε $x\in R$
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο , τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα.
1. Σωστό
2. Λάθος
Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης f μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της f
1. Σωστό
2. Λάθος
Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με μηδέν , λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ
1. Σωστό
2. Λάθος
Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β) , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $x_{0}$ , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f′(x)>0 στο $(\alpha ,x_{0})$ και f′(x)<0 στο $(x_{0},\beta )$ , τότε το $x_{0}$ είναι τοπικό ελάχιστο της f
1. Σωστό
2. Λάθος
Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν f˝(x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ , τότε η f είναι κυρτή στο Δ
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ , τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «κάτω» από τη γραφική της παράσταση με εξαίρεση το σημείο επαφής
1. Σωστό
2. Λάθος
Αν μια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω τότε κατ΄ ανάγκη θα ισχύει f˝(x)>0 για κάθε $x\in R$
1. Σωστό
2. Λάθος
Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ .Αν η f είναι κυρτή στο Δ , τότε υποχρεωτικά f˝(x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ
1. Σωστό
2. Λάθος
Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $x_{0}$ . Αν η f είναι κυρτή στο $(\alpha ,x_{0})$ και κοίλη στο $(x_{0},\beta )$ ή αντιστρόφως τότε το σημείο $A(x_{0},f(x_{0}))$ είναι υποχρεωτικά σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f
1. Σωστό
2. Λάθος
Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού $\nu \geq 2$ η οποία έχει ασύμπτωτη
1. Σωστό
2. Λάθος
Η γραφική παράσταση μια συνάρτησης $f:R\rightarrow R$ μπορεί να τέμνει μια ασύμπτωτή της
1. Σωστό
2. Λάθος

Γ΄Λυκείου: Πανελλαδικές: Παράγωγος - Σ-Λ 2000-2019